Spannungsteiler

Einleitung

Oft ist es notwendig die Ausgangsspannung eines Sensors an den Eingangsspannungsbereich eines AD-Wandlers anzupassen. Ist die Ausgangsspannung größer als die Eingangsspannung ist dies sehr einfach und kostengünstig mit einem Spannungsteiler machbar.

Einfacher Spannungsteiler

Die wohl einfachste Anwendung des ohmschen Gesetzes ist der einfache Spannungsteiler. Dabei wird eine große Eingangsspannung linear in eine kleine Ausgangsspannung umgesetzt. Der mathematische Zusammenhang ist dabei

[math]\displaystyle{ U_{AUS}=U_{EIN}\cdot \frac{R_2}{R_1+R_2} }[/math]

Die Berechnung von R1 und R2 ist einfach. Es wird ein Wert für R1 oder R2 gewählt und die Formel nach R1 bzw. R2 umgestellt. Das soll hier beispielhaft geschehen.

[math]\displaystyle{ R_2=R_1\cdot \frac{U_{AUS}}{U_{EIN}-U_{AUS}} }[/math]

Ein Programm, das den Spannungsteiler mit der niedrigsten Toleranz automatisch berechnet, findet sich unter: http://www.elexs.de/kap2_4.htm

Spannungsteiler mit Biaskorrektur

Manche Spannungsteiler ziehen Strom, bzw liefern Strom einen konstanten Strom. Eine Möglichkeit besteht darin, die Widerstände niederohmig zu Dimensionieren. Nachteil dieser Lösung ist die überproportional zunehmende Verlustleistung.

Alternativ kann man den Spannungsteiler mit Offset folgendermaßen berechnen:

[math]\displaystyle{ U_{AUS}=\frac{R_2*U_{EIN}}{R_1+R_2}-\frac{I_B}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}} }[/math]

Löst man die Gleichung nach R2 auf:

[math]\displaystyle{ R_{2}=\frac{U_{AUS}*R_1}{U_{EIN}-I_B*R_1-U_{AUS}} }[/math]

Spannungsteiler mit Offset, passiv

Um einiges komplizierter wird die Situation, wenn die Eingangsspannung mit einem Offset behaftet ist, oder wenn die Ausgangsspannung einen Offset haben soll. Hier kommt ein Spannungsteiler mit 3 Widerständen zum Einsatz. Die Berechnung der Widerstände R1, R2 und R3 ist um einiges komplexer. Hier muss bereits mit dem Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip) gerechnet werden.

[math]\displaystyle{ U_{AUS} = U_{EIN} \cdot \frac{\frac{R1 \cdot R2}{R1+R2}}{\frac{R1 \cdot R2}{R1+R2} + R3} + Vcc \cdot \frac{\frac{R3 \cdot R2}{R3+R2}}{\frac{R3 \cdot R2}{R3+R2} + R1} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{EIN} = (U_{AUS} - Vcc \cdot \frac{\frac{R3 \cdot R2}{R3+R2}}{\frac{R3 \cdot R2}{R3+R2} + R1}) \cdot \frac{\frac{R1 \cdot R2}{R1+R2} + R3}{\frac{R1 \cdot R2}{R1+R2}} }[/math]

Um die praktische Anwendung zu vereinfachen finden sich alle Formeln in einer schönen Exceltabelle wieder. Die Nutzung ist praktisch selbsterklärend. Im oberen Teil trägt man alle gegebenen bzw. gewünschten Parameter ein, im Mittelteil erscheinen Zwischenergebnisse, die jedoch für die direkte Anwendung nicht von Bedeutung sind. Wichtig sind nur die Ergebnisse ganz unten mit den Werten für R1 und R3 sowie dem Eingangs- und Ausgangswiderstand des Spannungsteilers sowie die obere Grenzfrequenz.

Für die Anwendung ist es wichtig zu wissen, daß die Quelle, welche den Spannungsteiler speist, einen geringen Innenwiderstand haben muß, damit es nicht zu unakzeptablen Meßfehlern kommt. Pi mal Daumen gilt, daß der Innenwiderstand nur 1% vom Eingangswiderstand des Spannungsteilers betragen darf, damit der Meßfehler nicht größer als 1% wird (R2 möglichst groß wählen). Ist das nicht möglich dann muß ein Operationsverstärker als Impedanzwandler eingesetzt werden (Spannungsfolger). Als weiterer systematischer Messfehler kommt noch die Ungenauigkeit der Widerstände R1..R3 hinzu. Bei 1% Metallschichtwiderständen beträgt dieser etwa 2%. Wenn es genauer sein soll muß man 0,1% Widerstände verwenden oder eine Kalibrierung durchführen. Eine dritte systematische Fehlerquelle ist die Spannung Vcc, welche normalerweise die Versorgungsspannung bzw. Referenzspannung des ADC ist. Der Einfluss von Vcc wird durch den Spannungsteiler etwas abgeschwächt und liegt bei ca. 0,1 bis 1. D.H. 10mV Fehler von Vcc erscheinen als 1..10mV Fehler auf dem Messsignal. Selbstverständlich muss Vcc auch ausreichend stabil und belastbar sein. Der einfache Aufbau wird jedoch mit einigen Nachteilen erkauft.

• relativ geringer Eingangswiderstand
• hoher Ausgangswiderstand
• bei hochohmigen Widerständen sinkt die obere Grenzfrequenz, nur langsame Signale sind dann noch meßbar

Als grobe Abschätzung gilt
[math]\displaystyle{ R_{aus}=\frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ f_{3dB}=\frac{1}{2 \pi \cdot R_{aus} \cdot C_{ein}} }[/math]

• Einschränkungen bezüglich der Werte für Uein_min, Uein_max, Uaus_min, Uaus_max
  • Uaus_min >= Uein_min
  • Uaus_max >= Uein_max
  • Vcc >= Uein_max

([math]\displaystyle{ f_{3dB} }[/math] ist die Frequenz, bei der das Ausgangssignal um 3dB (~30%) abgefallen ist.)

Nachfolgend ist eine praktische Schaltung des Spannungsteilers mit dem AVR Mikrocontroller gezeigt. Prinzipiell gilt sie natürlich für jeden Mikrocontroller bzw. ADC. Wichtig ist hier der Kondensator C1. Dieser ist notwendig, um kurzzeitig Strom zu liefern, wenn der ADC das Eingangssignal abtastet. Leider sinkt damit auch die obere Grenzfrequenz (siehe Formel für f_3dB). Hier muß ein Kompromiss aus Grenzfrequenz, Ausgangswiderstand und Meßfehler gefunden werden. Der Kondensator C2 ist kein diskret platziertes Bauteil, er symbolisiert vielmehr die unvermeidliche Eingangskapazität des ADC.

Spannungsteiler mit Offset, aktiv

Mit etwas mehr Aufwand kann man die genannten Probleme beseitigen. Ein Operationsverstärker bietet hier viele Vorteile.

• sehr hoher Eingangswiderstand
• niedriger Ausgangswiderstand, wichtig zum speisen von ADC Eingängen
• keine Einschränkungen bezüglich der Werte für Uein_min, Uein_max, Uaus_min, Uaus_max

Der mathematische Zusammenhang ist dabei gegeben durch

[math]\displaystyle{ U_{AUS}=U_{Offset}+ (U_{EIN}-U_{Offset}) \cdot (1+ \frac{R_1}{R_2}) }[/math]