Abtasttheorem

Das sogenannte 'Abtasttheorem' von Nyquist und Shannon beschreibt die Tatsache, dass sich ein beliebig geformtes analoges Signal immer dann exakt wiederherstellen lässt, wenn die Abtastfrequenz beim Digitalisieren - und damit die Dichte der Stützpunkte - mehr als doppelt so hoch ist, wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz.

Dies lässt sich dadurch erklären, dass beim späteren Rekonstruieren bei der Digital-Analog-Wandlung ein ideales Tiefpassfilter einen oberwellenfreien Sinus zwischen den Stützstellen generieren kann. So ist es möglich, mit 2 Stützstellen eine Periode auszugeben. Die ausgegebene Frequenz ist also halb so groß, wie die Abtastfrequenz.

Höhere Frequenzen, die im Ursprungssignal enthalten waren, können nicht wieder hergestellt werden. Im Gegenteil: Sie werden unterabgetastet und verursachen beim Digitalisieren sogenannte Aliasing-Fehler, die bei der Rekonstruktion zu ebenfalls falschen Amplitudenverläufen des erzeugten Signals führen.

Ein Beispiel für Aliasing: Wenn das abgetastete Signal genau die Abtastfrequenz enthält, wird in jedem Messpunkt immer derselbe Wert gemessen. Somit ist das gemessene Signal nicht von einer Gleichspannung unterscheidbar.

Ebenso ist festzustellen, dass aufgrund der Unzulänglichkeiten realer Filter die theoretisch exakt mögliche Rekonstruktion des Signals in der Praxis nicht gelingt. Bei der Erzeugung von Sinuswellen mit der DDS z.B., liegen zwar mathematisch exakte Amplitudenwerte vor, dennoch kommt man mit den generierten Sinuswellen praktisch nur bis an 70%-80% der halben Abtastfrequenz heran. Das liegt einfach daran, dass ein realer analoger Filter nicht unendlich steil sein kann und ein gewisser Frequenzabstand benötigt wird, um den Sperrbereich zu erreichen.

Daher muss je nach Qualitätsanspruch sowohl bei der Digitalisierung als auch der Rekonstruktion des Signals mit deutlich höheren Abtastfrequenzen gearbeitet werden.

In der Audiotechnik wird daher statt mit 44,1kHz inzwischen mit bis zu 384kHz gearbeitet. Das Sampeln geschieht überwiegend mit 96kHz oder 192kHz bei zusätzlicher Überabtastung.